En matemáticas lo natural es mejor. Los radianes

anguloTodos tenemos una idea intuitiva de qué es un ángulo. Si nos ponemos exquisitos, un ángulo es la parte del plano que queda comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado vértice. En nuestro recorrido por el mundo del oscilador harmónico y sus derivados tendremos que vernos las caras una y otra vez con este concepto. Así que será mejor que nos pongamos de acuerdo en cómo medir estos bichos.

Pongámonos de acuerdo

Los ángulos pueden ser variados y visualmente podemos clasificarlos fácilmente.  La clasificación clásica establece que los ángulos serán agudos, rectos, llanos o completos.

Tipos-de-angulosNo está mal para empezar, pero necesitamos algo más cuantitativo para poder manejar matemáticamente los ángulos de forma que nos sean útiles para nuestros propósitos.  La verdad es que nos podemos poner todos de acuerdo y llegar a un consenso para determinar cuánto mide un ángulo.  Para ello tomaremos un ángulo completo en el que las dos semirrectas que lo definen son coincidentes.  Claramente eso define una circunferencia:

Centro de la Circunferencia_Aquí empiezan los problemas porque ponernos de acuerdo no suele ser una tarea fácil.  Uno podría decidir dividir la circunferencia en cuatro partes iguales, en quince, en sesenta, en cuatrocientas o en trescientas sesenta partes.  En realidad da igual, al fin y al cabo solo sería cuestión de encontrar el convenio que le gustase a todos los involucrados y usarlo sistemáticamente.

Así se definen distintos sistemas de medida de los ángulos.  Los más populares son:

  •  Ángulos centesimales.

Este sistema se establece dividiendo la circunferencia en 400 partes. Por lo tanto el ángulo recto correspondería a 100 partes, el ángulo llano a 200 partes y el ángulo completo, la circunferencia, a 400 partes.  Se denota con un superíndice g tras el valor numérico asignado al ángulo, por ejemplo 100^g para el ángulo recto.

Grad_protractor

  •  Ángulos sexagesimales.

En esta versión consensuada para la medida de ángulos decidimos dividir la circunferencia en 360 partes iguales.  Así el ángulo recto corresponde a 90 partes, el llano a 180 partes y la circunferencia a 360.  Se indica esta unidad con el símbolo º tras el valor numérico del ángulo.  De ese modo un ángulo recto sexagesimal se indicaría por 90º.

Esta es la unidad más conocida y es la que nos explican en nuestra más tierna infancia en el colegio.

Protractor_Rapporteur_Degrees_V3Pero a poco que lo pensemos está feo que nuestros cálculos y nuestra matemática tenga que depender del capricho de una elección arbitraria de unidades. ¿Podremos encontrar una unidad natural para los ángulos?  Por unidad natural entenderemos una unidad que se construya a partir de magnitudes presentes en nuestro problema sin recurrir a convenios o acuerdos.

Los radianes

Afortunadamente podemos contestar la pregunta anterior en sentido afirmativo. Para ello refresquemos un poco la memoria acerca de las maravillosas circunferencias.

Una circunferencia es una línea curva definida en un plano que tiene la propiedad de que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto denominado centro.  A la distancia entre cualquier punto de la circunferencia y su centro se le denomina radio.Centro de la Circunferencia_

Ahora, si definimos un ángulo \theta entre dos semirectas podemos trazar un arco de circunferencia s cuyo centro será el vértice del ángulo en cuestión.

anguloSi dividimos la longitud del arco s entre la longitud del radio r tendremos una medida natural para el ángulo \theta. Y todos los elementos involucrados vienen dados por el sistema que estamos estudiando.

\theta=\dfrac{s}{r}

Aquí hay que comentar un par de cosas:

  1. Al dividir dos longitudes el resultado es una cantidad adimensional.  Esto implica que estamos definiendo una unidad sin dimensiones.  La unidad angular natural se denomina radián.  Un detalle importante es que tanto el arco como el radio tienen que estar medidos en las mismas unidades de longitud para que todo sea consistente.
  2. Diremos que un ángulo mide 1 radián — 1 rad — cuando sea el cociente entre un arco de circunferencia que tiene la misma longitud que su radio.

¿Cuánto vale entonces el ángulo completo?  La respuesta viene de la mano de la longitud de la circunferencia que, como aprendimos en el colegio, vale 2\pi r.

Por lo tanto, el ángulo completo, la circunferencia, en radianes valdrá:

\dfrac{2\pi r}{r}=2\pi

Siguiendo la lógica el ángulo llano será \pi y el ángulo recto \dfrac{\pi}{2}.

Circle_radians

Radianes — Circunferencia Unidad

Es evidente que la medida de un ángulo no puede depender de como de grande tracemos el arco de circunferencia.  Es decir, no puede depender del radio de la circunferencia que empleemos para definir el ángulo.  A poco que lo pensemos si aumentamos el radio, el arco de circunferencia será mayor y dichas longitudes confabulan para tener un cociente constante.  ¡Fantástico!

Debido a eso podemos trabajar sin pérdida de generalidad con circunferencias cuyo radio valga 1 en la unidad en que estemos trabajando.  A estas circunferencias se las denomina circunferencias unidad.  Estas circunferencias tienen una longitud total de 2\pi en la unidad de longitud empleada para el radio.

2pi-unrolledNota:  Se puede calcular la longitud de la circunferencia empleando el cálculo integral recordando que la longitud de una curva está definida a partir de la siguiente integral:

L=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1-(f'(x))^2}dx

Recordando que una circunferencia de radio a viene definida por x^2+y^2=a^2 podemos despejar la función del arco de circunferencia para el primer cuarto como y=f(x)=\sqrt{a^2-x^2}.  Derivando esta expresión e introduciéndola en la anterior fórmula integral obtendremos la longitud del arco de un cuarto de la circunferencia y por tanto la longitud total la obtendremos multiplicando dicho resultado por 4.

Siempre trabajaremos en radianes

En todo lo que resta de viaje por el mundo del oscilador armónico siempre trabajaremos en radianes porque es lo natural y porque es lo adecuado.  Es en radianes donde las expresiones matemáticas que vamos a ir encontrando tienen sentido, desde las funciones trigonométricas como senos y cosenos hasta las exponenciales.

Por lo tanto es bueno saber pasar de grados sexagesimales a radianes.  La cuestión es muy simple, si la circunferencia completa define un ángulo de 2\pi rad o de 360º sexagesimales.  Cualquier ángulo en sexagesimales se podrá expresar en radianes empleando la fracción unitaria \dfrac{2\pi}{360}, o la análoga \dfrac{\pi}{180}.

\theta =\dfrac{\pi}{180}\theta^o

Así tenemos que 90º son \dfrac{\pi}{2} rad, 270º son \dfrac{3\pi}{2} rad, etc.

Lo dejamos aquí por el momento.

Nos seguimos leyendo…

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